目錄
前言
第二版前言
第一版前言
第1章 矩陣 1
引言 1
1.1 矩陣的概念 2
1.1.1 引例 2
1.1.2 矩陣的定義 3
1.1.3 特殊矩陣 6
1.1.4 矩陣的相等 8
1.2 矩陣的運(yùn)算 9
1.2.1 矩陣的加法 9
1.2.2 數(shù)乘矩陣 10
1.2.3 矩陣的乘法 11
1.2.4 方陣的冪 16
1.2.5 矩陣的轉(zhuǎn)置 19
1.3 逆矩陣 21
1.3.1 逆矩陣的定義 22
1.3.2 可逆矩陣的性質(zhì) 23
1.4 分塊矩陣 24
1.4.1 分塊矩陣的概念 24
1.4.2 分塊矩陣的運(yùn)算 26
1.5 案例分析 31
1.5.1 信息編碼問題 31
1.5.2 人口就業(yè)問題 33
1.5.3 人口預(yù)測(cè)問題 34
習(xí)題1 37
第2章 行列式 43
引言 43
2.1 二階行列式和三階行列式 44
2.1.1 二元線性方程組與二階行列式 44
2.1.2 三階行列式 45
2.2 n階行列式 46
2.2.1 排列與逆序數(shù) 46
2.2.2 對(duì)換 47
2.2.3 n階行列式 49
2.3 行列式的性質(zhì) 53
2.4 行列式按行（列）展開定理 60
2.5 行列式與矩陣的逆 71
2.5.1 矩陣可逆的充分必要條件 71
2.5.2 逆矩陣的應(yīng)用 75
2.6 克拉默法則 77
2.7 案例分析 81
2.7.1 楊輝三角中的行列式 81
2.7.2 小行星軌道問題 84
2.7.3 行列式在數(shù)據(jù)插值中的應(yīng)用 85
習(xí)題2 88
第3章 矩陣的初等變換與線性方程組 95
引言 95
3.1 矩陣的初等變換 96
3.1.1 矩陣初等變換的概念 97
3.1.2 矩陣的等價(jià) 97
3.1.3 初等矩陣 99
3.1.4 用初等行變換求逆矩陣 103
3.2 矩陣的秩 106
3.2.1 矩陣秩的定義 106
3.2.2 用初等變換求矩陣的秩 107
3.3 線性方程組解的判定 111
3.3.1 消元法解線性方程組 112
3.3.2 線性方程組解的判定定理 114
3.4 案例分析 120
3.4.1 電路分析問題 120
3.4.2 投入產(chǎn)出模型 123
習(xí)題3 128
第4章 向量組的線性相關(guān)性 134
引言 134
4.1 向量組的線性組合 135
4.1.1 n 維向量 135
4.1.2 向量組的線性組合 137
4.1.3 向量組的等價(jià) 140
4.2 向量組的線性相關(guān)性 142
4.2.1 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 142
4.2.2 向量組線性相關(guān)的充分必要條件 144
4.3 向量組的秩 148
4.4 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 151
4.4.1 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 151
4.4.2 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 155
*4.5 向量空間 157
4.5.1 向量空間的概念 157
4.5.2 基、維數(shù)與坐標(biāo) 158
4.5.3 過渡矩陣與坐標(biāo)變換 161
4.6 案例分析 163
4.6.1 氣象觀測(cè)站的調(diào)整問題 163
4.6.2 配方問題 164
4.6.3 圖像壓縮問題 166
習(xí)題4 168
第5章 矩陣的特征值與特征向量 175
引言 175
5.1 向量的內(nèi)積與正交 176
5.1.1 向量的內(nèi)積 176
5.1.2 向量組的正交化、單位化 179
5.1.3 正交矩陣 182
5.2 矩陣的特征值與特征向量 184
5.2.1 特征值與特征向量的概念 184
5.2.2 特征值與特征向量的性質(zhì) 187
5.3 相似矩陣 191
5.3.1 相似矩陣的概念與性質(zhì) 191
5.3.2 矩陣與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件 192
5.4 實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化 197
5.4.1 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量 197
5.4.2 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 198
5.5 案例分析 202
5.5.1 PageRank 算法 202
5.5.2 人口遷移問題 204
5.5.3 受教育程度的依賴性 206
5.5.4 兔子繁殖問題 208
5.5.5 矩陣的低秩逼近 210
習(xí)題5 214
第6章 二次型 219
引言 219
6.1 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形 220
6.1.1 二次型的概念 220
6.1.2 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 223
6.1.3 矩陣的合同 224
6.2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 224
6.2.1 正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 224
6.2.2 配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 229
*6.2.3 初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 235
6.3 正定二次型 237
6.3.1 慣性定理 237
6.3.2 二次型的正定性 238
6.4 案例分析 240
6.4.1 線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 240
6.4.2 主成分分析 243
習(xí)題6 247
*第7章 線性空間與線性變換 250
引言 250
7.1 線性空間 251
7.1.1 線性空間的定義 251
7.1.2 維數(shù)、基與坐標(biāo) 253
7.1.3 線性子空間 257
7.2 歐氏空間 259
7.3 線性變換 263
7.3.1 線性變換的定義 263
7.3.2 線性變換的矩陣 265
7.3.3 線性變換的運(yùn)算 267
7.4 案例分析 269
7.4.1 離散時(shí)間信號(hào) 269
7.4.2 平面圖像的線性變換問題 270
習(xí)題7 275
部分習(xí)題答案 279
主要參考文獻(xiàn) 295
附錄 Python線性代數(shù)實(shí)驗(yàn) 296