目 錄 第1章 微積分概述 1.1 微積分的歷史背景與發(fā)展 002 1.1.1 微積分的起源 002 1.1.2 經典數學家的貢獻 003 1.1.3 微積分在現代科學中的應用 006 1.2 微積分的基本概念 010 1.2.1 函數與極限的基本定義 011 1.2.2 導數與微分的基本思想 011 1.2.3 積分與面積的基本概念 011 1.3 微積分的核心理論 011 1.3.1 牛頓-萊布尼茨公式 012 1.3.2 連續(xù)性與可導性的概念 012 1.3.3 無窮小與無窮大的應用 012 1.4 微積分在科學與工程中的應用 012 1.4.1 微積分在物理學中的應用 013 1.4.2 微積分在工程學中的應用 013 1.4.3 微積分在計算科學中的應用 013 1.5 微積分在人工智能中的重要性 013 1.5.1 微積分在機器學習中的作用 014 1.5.2 微積分在深度學習中的應用 014 1.5.3 微積分在優(yōu)化算法中的關鍵性 014 1.6 課后練習 014 第2章 函數與極限 2.1 函數的基本概念 017 2.1.1 函數的定義與分類 017 2.1.2 常見的函數類型 017 2.1.3 繪制不同類型的函數圖像 018 2.2 函數的性質 021 2.2.1 函數的單調性與凹凸性 021 2.2.2 極值、駐點與拐點分析 021 2.2.3 查找函數的極值和拐點并繪制圖像 022 2.3 極限的概念 025 2.3.1 極限的定義與基本性質 025 2.3.2 左極限、右極限與無窮極限 027 2.3.3 無窮小與無窮大的比較與應用 029 2.4 極限的求解方法 032 2.4.1 代入法與因式分解法 032 2.4.2 分母有理化與洛必達法則 033 2.4.3 利用 SymPy 求解函數的極限并驗證結果 034 2.5 連續(xù)性與可導性 034 2.5.1 函數的連續(xù)性與間斷點 034 2.5.2 可導函數的條件、性質與應用 035 2.5.3 用Python分析函數的連續(xù)性與 可導性 036 2.6 課后練習 037 第3章 導數與微分 3.1 導數的基本概念 039 3.1.1 導數的定義與幾何意義 039 3.1.2 導數的物理意義與在速度、加速度中的應用 039 3.1.3 Python 實例：利用 SymPy 計算函數的導數并繪制切線與速度圖 040 3.2 導數的計算規(guī)則 042 3.2.1 和差、乘積與商的求導法則 042 3.2.2 鏈式法則與隱函數求導法 043 3.2.3 Python 實例：使用 SymPy 實現復雜函數的求導并分析 043 3.3 常見函數的導數 045 3.3.1 多項式函數的導數 045 3.3.2 指數與對數函數的導數 046 3.3.3 三角函數與反三角函數的導數 046 3.3.4 Python 實例：繪制常見函數的導數 圖像并分析其變化趨勢 047 3.4 高階導數 052 3.4.1 高階導數的定義與應用 052 3.4.2 函數的凹凸性、拐點與泰勒級數展開 052 3.4.3 Python 實例：利用高階導數與泰勒 級數分析函數行為 053 3.5 微分的概念 055 3.5.1 微分的定義、幾何意義與線性近似 056 3.5.2 微分在誤差估計與近似計算中的應用 056 3.5.3 Python 實例：使用微分法近似計算 函數值與誤差分析 057 3.6 課后練習 059 第4章 積分及其應用 4.1 積分的基本概念 061 4.1.1 不定積分的定義與性質 061 4.1.2 積分的幾何意義與物理意義 061 4.1.3 利用 SymPy 計算簡單函數的 不定積分 062 4.2 定積分 062 4.2.1 定積分的定義與基本性質 062 4.2.2 定積分的計算方法 063 4.2.3 使用 SciPy 計算定積分并進行數值驗證 064 4.3 積分與面積、體積 065 4.3.1 積分在求平面圖形面積中的應用 065 4.3.2 積分在求旋轉體體積中的應用 065 4.3.3 Python 實例：計算復雜圖形的面積與體積并進行可視化 066 4.4 積分與概率與統(tǒng)計 069 4.4.1 概率密度函數與積分的關系 069 4.4.2 積分在期望、方差與協方差計算中的應用 070 4.4.3 利用積分求解連續(xù)型隨機變量的期望與方差 070 4.5 微積分基本定理 072 4.5.1 牛頓-萊布尼茨公式 072 4.5.2 微積分基本定理的推導與應用 073 4.5.3 利用牛頓-萊布尼茨公式進行積分驗證 074 4.6 積分在人工智能中的應用 077 4.6.1 損失函數的積分表示 077 4.6.2 積分在正則化與模型復雜度控制中的應用 078 4.6.3 利用積分計算正則化項并分析模型復雜度 079 4.7 數值積分 081 4.7.1 數值積分方法 081 4.7.2 數值積分的誤差分析與改進 082 4.7.3 實現并比較不同數值積分方法的效果 082 4.8 課后練習 085 第5章 多元微積分 5.1 多元函數 087 5.1.1 多元函數的定義與表示方法 087 5.1.2 多元函數的連續(xù)性與可微性 087 5.1.3 繪制多元函數并觀察其連續(xù)性與 可微性 088 5.2 偏導數 091 5.2.1 偏導數的定義與幾何意義 091 5.2.2 高階偏導數、混合偏導數與雅可比矩陣 092 5.2.3 利用 SymPy 計算多元函數的 偏導數 094 5.3 方向導數與梯度 096 5.3.1 方向導數的定義與計算方法 096 5.3.2 梯度向量、方向導數與其幾何意義 097 5.3.3 計算多元函數的方向導數與梯度 098 5.4 多元函數的極值 100 5.4.1 駐點、臨界點與鞍點的概念 100 5.4.2 二次型在極值判定中的作用 101 5.4.3 利用梯度下降法求多元函數的極值并 分析收斂性 102 5.5 拉格朗日乘數法 106 5.5.1 拉格朗日乘數法的原理與推導 106 5.5.2 拉格朗日乘數法在約束優(yōu)化中的應用 107 5.5.3 用拉格朗日乘數法求解約束優(yōu)化問題 109 5.6 多重積分 111 5.6.1 二重積分與三重積分的定義與計算 111 5.6.2 多重積分在計算體積、質量與重心中的應用 113 5.6.3 利用多重積分計算復雜幾何體的體積與重心 114 5.7 課后練習 115 第6章 數據預處理 6.1 特征選擇和降維 117 6.1.1 特征選擇的微積分方法 117 6.1.2 主成分分析 119 6.2 缺失值處理與插補 124 6.2.1 缺失值處理介紹 124 6.2.2 插補方法中的微積分應用 125 6.3 數據平滑與去噪 128 6.3.1 數據平滑 128 6.3.2 去噪算法中的微積分方法 132 6.4 數據轉換與特征工程 134 6.4.1 數據轉換的微積分方法 134 6.4.2 特征工程 137 6.5 數據預處理中的微積分優(yōu)化 139 6.5.1 優(yōu)化方法的基本概念 140 6.5.2 梯度下降法 140 6.5.3 牛頓法 142 6.6 課后練習 144 第7章 構建網絡模型 7.1 網絡模型介紹 146 7.1.1 機器學習和深度學習 146 7.1.2 網絡模型的定義與分類 148 7.2 構建機器學習模型 149 7.2.1 構建線性回歸模型 149 7.2.2 構建邏輯回歸模型 160 7.2.3 支持向量機 163 7.2.4 決策樹 168 7.2.5 隨機森林 172 7.2.6 K-近鄰算法模型 175 7.3 構建深度學習模型 177 7.3.1 前饋神經網絡 177 7.3.2 CNN在計算機視覺中的應用 181 7.3.3 循環(huán)神經網絡 184 7.3.4 長短期記憶網絡 188 7.3.5 生成對抗網絡 191 7.4 課后練習 195 第8章 模型優(yōu)化 8.1 模型優(yōu)化介紹 197 8.2 梯度下降算法 197 8.2.1 梯度下降法介紹 198 8.2.2 微積分在梯度計算中的應用 198 8.2.3 隨機梯度下降 202 8.2.4 動量法 205 8.2.5 自適應學習率算法 207 8.3 優(yōu)化算法 210 8.3.1 牛頓法與擬牛頓法 210 8.3.2 自適應優(yōu)化算法 214 8.4 正則化技術 219 8.4.1 正則化介紹 219 8.4.2 L1正則化 220 8.4.3 L2正則化 223 8.4.4 Dropout 226 8.4.5 彈性網 229 8.5 超參數優(yōu)化 232 8.5.1 超參數的定義與選擇 232 8.5.2 貝葉斯優(yōu)化 233 8.6 課后練習 236 第9章 模型評估與解釋 9.1 模型評估的基本概念 238 9.1.1 評估指標的定義與選擇 238 9.1.2 評估指標的數學基礎 238 9.2 性能度量與損失函數 242 9.2.1 損失函數與性能度量的關系 242 9.2.2 微積分在性能度量中的應用 243 9.3 模型解釋性 246 9.3.1 模型解釋性的基本概念 246 9.3.2 微積分在模型解釋中的應用：梯度的角色 247 9.4 靈敏度分析與梯度檢查 250 9.4.1 靈敏度分析 250 9.4.2 梯度檢查 254 9.5 特征重要性分析 258 9.6 誤差分析與模型診斷 260 9.6.1 誤差分析介紹 261 9.6.2 模型診斷 263 9.7 課后練習 267 第10章 自然語言處理和微積分 10.1 自然語言處理基礎 269 10.1.1 NLP的基本概念與應用領域 269 10.1.2 微積分在 NLP 中的作用概述 270 10.2 詞嵌入 270 10.2.1 詞嵌入介紹 270 10.2.2 詞嵌入模型 271 10.3 表示學習 274 10.3.1 表示學習介紹 274 10.3.2 微積分在表示學習中的應用 275 10.4 語言模型與序列建模 277 10.4.1 語言模型的定義與作用 277 10.4.2 微積分在語言模型中的應用 278 10.5 注意力機制與Transformer 281 10.5.1 微積分在注意力機制中的應用 281 10.5.2 Transformer的基本概念和微積分的應用 283 10.6 情感分析與文本分類 287 10.6.1 情感分析與文本分類的基本方法 288 10.6.2 微積分在情感分析與文本分類中的應用 288 10.7 課后練習 294 第11章 人工智能視覺技術和微積分 11.1 計算機視覺基礎 296 11.1.1 計算機視覺的定義與應用領域 296 11.1.2 微積分在計算機視覺中的作用 296 11.2 圖像處理與變換 297 11.2.1 常用的圖像處理技術 297 11.2.2 梯度計算與邊緣檢測 297 11.2.3 圖像增強 300 11.2.4 幾何變換和圖像變換 302 11.2.5 圖像分割 305 11.3 特征提取與描述 308 11.3.1 特征提取的基本方法 308 11.3.2 微積分在特征提取中的應用 309 11.4 卷積神經網絡（CNN） 316 11.4.1 CNN的基本結構與應用 317 11.4.2 微積分在 CNN 中的應用 317 11.5 目標檢測與分割 320 11.5.1 目標檢測的基本方法 320 11.5.2 目標分割的基本方法 324 11.6 圖像生成與變換 327 11.6.1 圖像生成模型的基本概念 327 11.6.1 微積分在圖像生成中的應用 328 11.7 課后練習 333 第12章 推薦系統(tǒng)和微積分 12.1 推薦系統(tǒng)概述 336 12.1.1 推薦系統(tǒng)的定義與分類 336 12.1.2 推薦系統(tǒng)的應用領域 337 12.1.3 微積分在推薦系統(tǒng)中的作用概述 337 12.2 推薦算法基礎 338 12.2.1 基于內容的推薦 338 12.2.2 基于協同過濾的推薦 341 12.3 基于標簽的推薦 344 12.3.1 獲取用戶的標簽 345 12.3.2 基于用戶興趣標簽的推薦算法 345 12.3.3 基于物品標簽的推薦算法 348 12.4 基于神經網絡的推薦模型 351 12.4.1 深度學習在推薦系統(tǒng)中的應用 351 12.4.2 基于多層感知器的推薦模型 352 12.4.3 基于卷積神經網絡的推薦模型 355 12.4.4 基于循環(huán)神經網絡的推薦模型 358 12.4.5 基于自注意力機制的推薦模型 363 12.5 課后練習 367 第13章 強化學習和微積分 13.1 強化學習基礎 369 13.1.1 強化學習的核心特點 369 13.1.2 強化學習與其他機器學習方法的區(qū)別 370 13.1.3 微積分在強化學習中的作用 370 13.2 馬爾可夫決策過程 371 13.2.1 MDP的核心思想 371 13.2.2 MDP的形式化定義 372 13.2.3 貝爾曼方程 375 13.3 蒙特卡洛方法 381 13.3.1 蒙特卡洛預測的核心思想 381 13.3.2 探索與策略改進 385 13.4 Q學習與貝爾曼方程 387 13.4.1 Q-learning的動作值函數 387 13.4.2 強化學習中的Q-learning 391 13.5 深度Q網絡算法 394 13.5.1 DQN算法介紹 394 13.5.2 雙重深度Q網絡算法 399 13.6 競爭深度Q網絡算法 404 13.6.1 Dueling DQN網絡架構 404 13.6.2 微積分在Dueling DQN中的作用 404 13.7 課后練習 408