目錄

第一章極限與連續(xù)

第一節(jié)函數(shù)

一、 函數(shù)的概念

二、 函數(shù)的幾種特性

三、 函數(shù)的運算

四、 初等函數(shù)

第二節(jié)極限的概念

一、 數(shù)列極限的定義

二、 函數(shù)極限的定義

三、 數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系

第三節(jié)極限的性質(zhì)及運算法則

一、 極限的基本性質(zhì)

二、 極限的運算法則

第四節(jié)極限存在準則

一、 兩邊夾準則（夾逼準則）

二、 單調(diào)有界準則

*三、 柯西收斂準則

第五節(jié)無窮小量與無窮大量

一、 無窮小量的概念及性質(zhì)

二、 無窮小量階的比較

三、 無窮大量

第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

一、 函數(shù)連續(xù)性的概念

二、 函數(shù)的間斷點

第七節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

一、 連續(xù)函數(shù)的運算

二、 初等函數(shù)的連續(xù)性

第八節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

一、 最值性與有界性

二、 零點定理與介值性

*三、 一致連續(xù)性

第九節(jié)工程應用舉例

數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一般方法（一）——觀察與實驗

第二章導數(shù)與微分

第一節(jié)導數(shù)的概念

一、 導數(shù)的定義

二、 導數(shù)的幾何意義

三、 函數(shù)可導性與連續(xù)性的關(guān)系

第二節(jié)函數(shù)的求導法則

一、 函數(shù)四則運算后的求導法則

二、 反函數(shù)的求導法則

三、 復合函數(shù)的求導法則

四、 初等函數(shù)的導數(shù)

第三節(jié)高階導數(shù)

一、 高階導數(shù)的定義

二、 高階導數(shù)的運算法則

第四節(jié)隱函數(shù)的導數(shù)

一、 由直角坐標方程確定的函數(shù)的導數(shù)

二、 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)

三、 由極坐標方程確定的函數(shù)的導數(shù)

第五節(jié)函數(shù)的微分

一、 微分的定義

二、 微分運算法則與高階微分

三、 微分的應用

第六節(jié)工程應用舉例

數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一般方法（二）——歸納與猜想

第三章微分中值定理與導數(shù)的應用

第一節(jié)微分中值定理

一、 羅爾定理

二、 拉格朗日中值定理

三、 柯西中值定理

第二節(jié)洛必達法則

一、 0/0型不定式

二、 ∞/∞型不定式

三、 其他類型的不定式

第三節(jié)泰勒公式

第四節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判定

第五節(jié)曲線的凹凸性

第六節(jié)函數(shù)的極值

第七節(jié)函數(shù)最值的求法

第八節(jié)函數(shù)的圖形

一、 曲線的漸近線

二、 函數(shù)圖形的描繪

第九節(jié)曲線的曲率

一、 弧微分

二、 曲率及其計算公式

三、 曲率圓與曲率半徑

第十節(jié)工程應用舉例

數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一般方法（三）——類比與聯(lián)想

第四章不定積分

第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)

一、 原函數(shù)與不定積分的概念

二、 基本積分公式

三、 不定積分的性質(zhì)

第二節(jié)不定積分的換元積分法

一、 第一類換元法(湊微分法)

二、 第二類換元法

第三節(jié)不定積分的分部積分法

第四節(jié)幾類特殊函數(shù)的不定積分

一、 有理函數(shù)的不定積分

二、 三角有理函數(shù)的不定積分

三、 某些無理函數(shù)的不定積分

第五節(jié)工程應用舉例

數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一般方法（四）——抽象與概括

第五章定積分

第一節(jié)定積分的概念

一、 定積分的定義

二、 定積分的幾何意義

第二節(jié)定積分的性質(zhì)

第三節(jié)微積分基本公式

一、 積分上限的函數(shù)及其導數(shù)

二、 牛頓�踩R布尼茨公式

第四節(jié)定積分的換元法

第五節(jié)定積分的分部積分法

第六節(jié)定積分的幾何應用

一、 定積分的元素法

二、 平面圖形的面積

三、 立體的體積

四、 平面曲線的弧長

第七節(jié)定積分的物理應用

一、 變力沿直線做功

二、 水壓力

三、 引力

第八節(jié)廣義積分

一、 無窮區(qū)間上的廣義積分

二、 無界函數(shù)的廣義積分

第九節(jié)工程應用舉例

數(shù)學思維（一）——邏輯思維與非邏輯思維

第六章微分方程

第一節(jié)微分方程的基本概念

第二節(jié)可分離變量的微分方程

第三節(jié)齊次方程

—、 齊次函數(shù)與齊次方程

*二、 可齊次化的方程

第四節(jié)一階線性微分方程

一、 一階線性方程

二、 伯努利方程

三、 變量替換法的靈活運用

第五節(jié)可降階的高階微分方程

一、 y(n)=f(x)型的微分方程

二、 y″=f(x,y′)型的微分方程

三、 y″=f(y,y′)型的微分方程

第六節(jié)高階線性微分方程

一、 二階齊次線性方程的通解

二、 二階非齊次線性方程的通解

*三、 二階非齊次線性方程的常數(shù)變易法

*四、 降階法

第七節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程

第八節(jié)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

*第九節(jié)歐拉方程

第十節(jié)工程應用舉例

數(shù)學思維（二）——收斂思維與發(fā)散思維

習題答案與提示

參考文獻