目錄
第1章 線(xiàn)性空間與線(xiàn)性映射 1
1.1 線(xiàn)性空間 1
1.1.1 線(xiàn)性空間的概念 1
1.1.2 向量的線(xiàn)性相關(guān)性 3
1.2 基與坐標(biāo)、坐標(biāo)變換 5
1.2.1 基與維數(shù)、坐標(biāo) 5
1.2.2 基變換與坐標(biāo)變換 8
1.3 線(xiàn)性子空間 11
1.3.1 線(xiàn)性子空間的概念 11
1.3.2 子空間的交與和 13
1.3.3 子空間的直和、補(bǔ)子空間 17
1.4 線(xiàn)性映射 18
1.4.1 線(xiàn)性映射的定義 18
1.4.2 線(xiàn)性映射的矩陣表示 19
1.4.3 線(xiàn)性空間的同構(gòu) 26
1.5 線(xiàn)性映射的值域與核 27
1.6 復(fù)合映射 31
1.7 商空間 32
1.8 習(xí)題 37
第2章 多項(xiàng)式矩陣與 Smith 標(biāo)準(zhǔn)形 42
2.1 多項(xiàng)式矩陣 42
2.2 初等變換與多項(xiàng)式矩陣的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)形 44
2.3 初等因子與等價(jià)條件 51
2.4 多項(xiàng)式矩陣的理想與互質(zhì) 57
2.5 習(xí)題 58
第3章 線(xiàn)性變換與空間分解 63
3.1 線(xiàn)性變換的特征值和特征向量 63
3.2 相似條件、相似化簡(jiǎn)與自然標(biāo)準(zhǔn)形 70
3.2.1 矩陣相似條件 70
3.2.2 相似化簡(jiǎn)與自然標(biāo)準(zhǔn)形 72
3.3 Cn×n 與 Rn×n 中的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形 74
3.3.1 Cn×n 中的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形 74
3.3.2 Rn×n 中的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形 77
3.3.3 線(xiàn)性空間V的廣義特征子空間分解 78
3.4 最小多項(xiàng)式與空間第一分解定理 83
3.4.1 化零多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式 83
3.4.2 空間第一分解定理 86
3.4.3 C 上 n 維線(xiàn)性空間 V 的分解 89
3.5 循環(huán)不變子空間與空間第二分解定理 100
3.5.1 循環(huán)不變子空間 100
3.5.2 空間第二分解定理 101
3.6 習(xí)題 108
第4章 酉空間及酉空間上的線(xiàn)性變換、二次型 111
4.1 內(nèi)積空間 111
4.1.1 內(nèi)積和內(nèi)積空間的定義 111
4.1.2 內(nèi)積空間的性質(zhì) 113
4.1.3 酉空間的度量 116
4.2 標(biāo)準(zhǔn)正交基、Schmidt 正交化方法 117
4.3 酉變換與正交變換 122
4.4 冪等矩陣與正交投影 124
4.4.1 投影變換與冪等矩陣 124
4.4.2 正交補(bǔ)、正交投影 129
4.5 伴隨映射 131
4.6 正規(guī)變換與正規(guī)矩陣 135
4.7 Hermitian 矩陣與二次齊式 143
4.7.1 Hermitian 矩陣、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 143
4.7.2 Hermitian 二次齊式 145
4.7.3 正定二次齊式、正定 Hermitian 矩陣 146
4.7.4 Hermitian 矩陣偶在合同變換下的標(biāo)準(zhǔn)形 151
4.8 Rayleigh 商 158
4.9 習(xí)題 163
第5章 線(xiàn)性映射與矩陣的分解 168
5.1 單純線(xiàn)性變換與矩陣的譜分解 168
5.1.1 單純線(xiàn)性變換的譜分解 168
5.1.2 單純矩陣的譜分解 174
5.1.3 正規(guī)變換與正規(guī)矩陣的譜分解 177
5.2 線(xiàn)性映射與矩陣的奇異值分解 185
5.3 線(xiàn)性映射與矩陣的滿(mǎn)秩分解 190
5.4 線(xiàn)性映射與矩陣的極分解 193
5.5 習(xí)題 196
第6章 范數(shù)及其應(yīng)用 199
6.1 向量范數(shù) 199
6.2 矩陣與線(xiàn)性映射的范數(shù) 205
6.2.1 矩陣范數(shù) 205
6.2.2 矩陣的誘導(dǎo)范數(shù)與線(xiàn)性映射的范數(shù) 207
6.3 矩陣序列與極限 212
6.4 矩陣冪級(jí)數(shù) 214
6.5 習(xí)題 217
第7章 矩陣函數(shù) 223
7.1 齊次狀態(tài)方程的解與矩陣冪級(jí)數(shù) 223
7.2 矩陣函數(shù)的 Jordan 表達(dá)式 225
7.3 矩陣函數(shù)的多項(xiàng)式表示 227
7.4 矩陣函數(shù)的 Lagrange-Sylvester 內(nèi)插公式 233
7.5 一階線(xiàn)性定常非齊次微分方程組的解 234
7.6 線(xiàn)性定常連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性 236
7.7 線(xiàn)性時(shí)變微分方程 x˙ (t) = A(t)x(t) 237
7.8 習(xí)題 242
第8章 線(xiàn)性映射與矩陣的三類(lèi)廣義逆 245
8.1 線(xiàn)性映射與矩陣的廣義逆 245
8.1.1 線(xiàn)性映射的廣義逆 245
8.1.2 矩陣的廣義逆 251
8.2 線(xiàn)性映射與矩陣的自反廣義逆 255
8.2.1 線(xiàn)性映射的自反廣義逆 255
8.2.2 矩陣的自反廣義逆 257
8.3 線(xiàn)性映射與矩陣的偽逆 258
8.4 廣義逆與線(xiàn)性方程組的解 262
8.4.1 相容非齊次方程的解 262
8.4.2 相容非齊次方程的最小范數(shù)解 264
8.5 不相容非齊次方程的最優(yōu)近似解 265
8.6 習(xí)題 267
第9章 矩陣方程及其應(yīng)用 269
9.1 Kronecker 積的定義與性質(zhì) 269
9.2 Kronecker 積的特征值 273
9.3 線(xiàn)性矩陣方程 274
9.3.1 矩陣的列展開(kāi)與行展開(kāi) 274
9.3.2 線(xiàn)性矩陣代數(shù)方程 276
9.4 矩陣指數(shù)應(yīng)用一: 穩(wěn)定性理論 278
9.5 矩陣?yán)碚搼?yīng)用: 可控性與可觀(guān)測(cè)性 280
9.5.1 狀態(tài)可控性及其判據(jù) 280
9.5.2 狀態(tài)可觀(guān)測(cè)性及其判據(jù) 284
9.5.3 空間分解定理的應(yīng)用: 可控性與可觀(guān)測(cè)性的本質(zhì) 285
9.5.4 狀態(tài)反饋、極點(diǎn)配置與鎮(zhèn)定問(wèn)題 287
9.5.5 狀態(tài)觀(guān)測(cè)器及輸出注入反饋 289
9.5.6 傳遞函數(shù)矩陣在 RH∞ 中的互質(zhì)分解 291
9.5.7 可控性、可觀(guān)測(cè)性的度量與平衡實(shí)現(xiàn) 296
9.6 矩陣指數(shù)應(yīng)用二: Hankel 算子及其 Schmidt 分解 300
9.6.1 Hankel 算子 300
9.6.2 Hankel 范數(shù)的計(jì)算 301
9.6.3 Hankel 算子的 Schmidt 分解 303
9.7 連續(xù)時(shí)間代數(shù) Riccati 方程的解 305
9.8 離散時(shí)間代數(shù) Riccati 方程的解 312
9.9 習(xí)題 318
符號(hào)表 325
附錄 A 基本代數(shù)系統(tǒng) 327
A.1 抽象代數(shù)的基本概念 327
A.2 群 327
A.2.1 多項(xiàng)式群 328
A.2.2 二進(jìn)制加法群 329
A.3 環(huán) 331
A.4 域 333
附錄 B 多項(xiàng)式 334
B.1 線(xiàn)性代數(shù) 334
B.2 多項(xiàng)式環(huán)與 Euclidean 除法 337
B.3 多項(xiàng)式理想 340
B.4 多項(xiàng)式的因式分解 344
B.5 多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系 346
附錄 C 一些結(jié)果的證明 347
C.1 引理 2.2.1 和引理 2.2.2 的證明 347
C.1.1 引理 2.2.1 的證明 347
C.1.2 引理 2.2.2 的證明 348
C.2 確定過(guò)渡矩陣 X 350
參考文獻(xiàn) 358