目錄
第1章 緒論 1
1.1 數值分析的研究對象 1
1.2 誤差的來源 1
1.3 絕對誤差、相對誤差與有效數字 2
1.3.1 絕對誤差與相對誤差 2
1.3.2 有效數字 4
1.4 誤差的傳播 5
1.4.1 一元函數計算誤差的傳播 5
1.4.2 多元函數計算誤差的傳播 6
1.5 在近似計算中需要注意的一些問題 7
1.5.1 算法的數值穩(wěn)定性 7
1.5.2 數值算法設計的若干原則 9
習題1 12
第2章 解線性方程組的直接方法 14
2.1 引言 14
2.2 Gauss消元法 15
2.2.1 Gauss消元法的基本思想 15
2.2.2 Gauss消元法的計算公式 15
2.2.3 Gauss消元法的計算量 19
2.3 選主元素的Gauss消元法 20
2.3.1 列主元消元法 20
2.3.2 全主元消元法 21
2.4 Gauss-Jordan消元法 23
2.4.1 Gauss-Jordan消元法的過程 23
2.4.2 方陣求逆 24
2.5 直接三角分解法 25
2.5.1 Gauss消元法的矩陣形式 25
2.5.2 矩陣的三角分解 26
2.5.3 直接三角分解法的計算公式 29
2.6 平方根法與改進的平方根法 31
2.6.1 平方根法 31
2.6.2 改進的平方根法 34
2.7 追趕法 36
2.8 方程組的性態(tài)與誤差分析 38
2.8.1 向量與矩陣的范數 38
2.8.2 條件數與病態(tài)方程組 41
2.8.3 誤差分析 44
2.8.4 病態(tài)方程組的求解 45
2.9 應用舉例 46
習題2 48
第3章 解線性方程組的迭代法 50
3.1 迭代法概述 50
3.1.1 向量序列與矩陣序列的收斂性 50
3.1.2 迭代法的一般形式 51
3.2 幾種常用的迭代法 52
3.2.1 Jacobi迭代法 52
3.2.2 Gauss-Seidel迭代法 54
3.2.3 松弛法 55
3.3 迭代法的收斂條件及誤差分析 57
3.3.1 矩陣的譜半徑 57
3.3.2 迭代法的收斂條件 59
3.3.3 誤差估計 63
3.4 應用舉例 64
習題3 66
第4章 非線性方程與方程組的數值解法 68
4.1 二分法 68
4.2 迭代法 70
4.2.1 迭代法的基本思想 70
4.2.2 不動點迭代法及其幾何意義 70
4.2.3 迭代法的收斂條件 73
4.2.4 迭代法收斂速度 76
4.2.5 Steffensen方法—簡單迭代法的加速 77
4.3 Newton迭代法與弦截法 78
4.3.1 Newton迭代法 78
4.3.2 弦截法 81
4.4 拋物線法 82
4.5 非線性方程組的求根 83
4.5.1 不動點迭代法 83
4.5.2 Newton迭代法 85
4.6 應用舉例 87
習題4 89
第5章 插值法 91
5.1 插值問題與插值多項式 91
5.1.1 插值問題 91
5.1.2 插值多項式 91
5.2 Lagrange插值 93
5.2.1 線性插值 93
5.2.2 二次插值 94
5.2.3 n次插值 95
5.3 Newton插值 97
5.3.1 差商及其性質 97
5.3.2 Newton插值公式 99
5.3.3 差分及其性質 102
5.3.4 等距節(jié)點插值公式 104
5.4 Hermite插值 105
5.4.1 Hermite插值公式 105
5.4.2 Hermite插值的唯一性及余項 107
5.4.3 Hermite插值的一般形式 109
5.5 分段低次插值 110
5.5.1 高次多項式插值的Runge現象 110
5.5.2 分段線性插值 111
5.5.3 分段Hermite插值 113
5.6 三次樣條插值 113
5.6.1 樣條插值函數的定義 114
5.6.2 三彎矩插值法 115
5.6.3 誤差限與收斂性 118
5.7 應用舉例 118
習題5 120
第6章 函數逼近與曲線擬合 123
6.1 預備知識 123
6.1.1 權函數與內積 123
6.1.2 正交性 124
6.2 常用的正交多項式 126
6.2.1 Legendre多項式 126
6.2.2 第一類Chebyshev多項式 127
6.2.3 第二類Chebyshev多項式 128
6.2.4 Laguerre多項式 129
6.3 函數的最佳平方逼近 130
6.3.1 最佳平方逼近函數及其求法 130
6.3.2 基于正交函數的最佳平方逼近 133
6.4 曲線擬合的最小二乘法 134
6.4.1 問題描述與求解 134
6.4.2 多項式擬合 138
6.4.3 幾種具體的擬合曲線類型 140
6.4.4 用正交多項式作曲線擬合 142
6.5 應用舉例 143
習題6 145
第7章 數值積分與數值微分 148
7.1 求積公式 148
7.1.1 數值積分的基本思想 148
7.1.2 插值型求積公式 149
7.1.3 代數精度 150
7.2 Newton-Cotes求積公式 151
7.2.1 Newton-Cotes公式介紹 151
7.2.2 常見的Newton-Cotes公式 152
7.2.3 Newton-Cotes公式的截斷誤差 153
7.3 復化求積公式 155
7.3.1 復化梯形公式 155
7.3.2 復化Simpson公式 156
7.3.4 逐次分半算法 158
7.4 Romberg積分法 161
7.4.1 Richardson外推法 161
7.4.2 Romberg求積公式 162
7.5 Gauss型求積公式 164
7.5.1 一般理論 164
7.5.2 常用的Gauss型求積公式 167
7.6 數值微分 171
7.6.1 差商型求導公式 171
7.6.2 插值型求導公式 173
7.6.3 Taylor展開法 176
7.6.4 數值微分的外推算法 177
7.7 應用舉例 178
習題7 179
第8章 常微分方程的數值解法 181
8.1 Euler方法與向后Euler方法 183
8.1.1 Euler方法 183
8.1.2 Euler方法的誤差估計 184
8.1.3 向后Euler方法 185
8.2 梯形方法與改進的Euler方法 186
8.2.1 梯形方法 186
8.2.2 改進的Euler方法 187
8.3 Runge-Kutta方法 189
8.3.1 Runge-Kutta方法的構造思想 189
8.3.2 顯式Runge-Kutta方法 190
8.3.3 隱式Runge-Kutta方法 193
8.4 單步法的相容性、收斂性與穩(wěn)定性 194
8.4.1 相容性 194
8.4.2 收斂性 195
8.4.3 穩(wěn)定性 196
8.5 線性多步法 198
8.5.1 線性多步法的導出 198
8.5.2 常用的線性多步法 199
8.5.3 預測-校正方法 201
8.6 一階常微分方程組與高階微分方程 203
8.6.1 一階微分方程組的數值解法 203
8.6.2 高階微分方程的數值解法 204
8.7 應用舉例 205
習題8 207
第9章 矩陣特征值與特征向量的計算 209
9.1 預備知識 209
9.2 冪法與反冪法 211
9.2.1 冪法 211
9.2.2 冪法的加速 214
9.2.3 反冪法 216
9.3 Jacobi方法 219
9.4 Householder方法 225
9.4.1 Householder 變換 225
9.4.2 化矩陣為上Hessenberg陣 226
9.4.3 對稱三對角矩陣的特征值計算 230
9.4.4 對稱三對角矩陣特征向量的計算 232
9.5 QR方法 232
9.5.1 矩陣的QR分解 233
9.5.2 QR方法及其收斂性 234
9.5.3 帶原點平移的QR方法 236
9.6 應用實例 237
習題9 238
第10章 MATLAB數學軟件與數值計算 240
10.1 MATLAB介紹 240
10.2 MATLAB數值處理簡介 241
10.2.1 向量及其運算 241
10.2.2 矩陣及其運算 242
10.3 MATLAB程序設計入門 243
10.3.1 運算符與操作符 243
10.3.2 M文件簡介 245
10.3.3 程序結構與控制 246
10.4 MATLAB繪圖功能簡介 249
10.4.1 MATLAB的圖形窗口 249
10.4.2 基本二維圖形繪制 250
10.4.3 繪圖輔助函數—坐標軸和標注 252
10.4.4 多窗口繪圖函數 254
10.5 線性方程組的數值解法 256
10.5.1 直接法 256
10.5.2 迭代法 261
10.6 非線性方程求根 262
10.6.1 二分法 262
10.6.2 Newton法 263
10.7 插值方法 263
10.7.1 Lagrange插值 263
10.7.2 Newton插值 265
10.8 數據擬合與函數逼近 266
10.8.1 多項式數據擬合 266
10.8.2 非線性擬合 267
10.8.3 最佳平方逼近 268
10.9 數值積分 269
10.9.1 非復化的數值積分 269
10.9.2 復化的數值積分 270
10.10 常微分方程初值問題數值解 271
10.10.1 單步法 271
10.10.2 線性多步法 274
10.11 方陣的特征值與特征向量 275
10.11.1 冪法 275
10.11.2 Jacobi方法 276
參考文獻 278