數理邏輯是研究推理，特別是研究數學中的推理的科學。本書陳述數理邏輯的基礎性知識，包括邏輯演算（這里是指命題邏輯和一階謂詞邏輯）的基本內容，這些內容構成數理邏輯各個分支（模型論、證明論和構造性數學、遞歸論、集合論）的共同的基礎。

　　數理邏輯的思想可以溯源到萊布尼茲，而命題邏輯和一階謂詞邏輯的研究則從弗雷格開始。以后，經過皮爾斯，施羅德，皮亞諾，懷德海與羅素，勒文海姆，斯柯倫9等的研究，特別是經過了希爾伯特與阿克曼、貝爾奈斯的研究和整理，謂詞邏輯的體系得以形成；而在哥德爾證明了一階邏輯的完全性定理之后，這個邏輯演算的體系可以說是最后得到完成。

　　邏輯演算是反映前提和結論之間的推理關系的形式系統(tǒng)。在數理邏輯的歷史發(fā)展中，構造了邏輯演算的重官式系統(tǒng)。在重言式系統(tǒng)中，以某些形式公理和形式推理規(guī)則刻劃重言式的全體，以重言式反映推理關系。

　　然而，重言式系統(tǒng)中的形式公理（它們本身都是重言式）并不揭示出推理的性質。形式公理的涵義是并不直觀、并不明顯的。用重言式系統(tǒng)中的形式推理來反映演繹推理是不直接、不自然的，于是出現了一些較為直接地反映推理關系的邏輯演算。由厄爾勃朗證明的演繹定理就是比較直接地反映推理關系的，以后，在雅思柯夫斯基，根岑等的著作中，也表明了這種趨勢。又如在克利尼的《元數學導引》一書中所構造的邏輯演算，雖然仍然是重言式系統(tǒng)，但在其中定義了有前提的形式推理，并且利用演繹定理得出直接反映推理關系的形式推理關系，這也表明了上面所說的趨勢，

　　本書按照直接而自然地反映推理關系的要求來構造邏輯演算，這是邏輯演算的自然推理系統(tǒng)。本書中構造的自然推理系統(tǒng)既是一種嚴格的形式的數學語言，又與通常的數學語言很接近。王憲鈞同志在1940年前后曾告訴作者之一，沈有鼎同志在三十年代初就有了關于構造邏輯演算的自然推理系統(tǒng)的思想。本書所構造的自然推理系統(tǒng)是受到這種思想的啟發(fā)的，

　　文獻中已有的帶函數詞的謂詞邏輯往往是其中的函數詞只表示全函數，即在論域中處處有定義的函數，本書中構造了兩個帶函數詞的謂詞邏輯，一個里面的函數詞表示全函數，另一個里面的函數詞表示全函數或者偏函數，即在論域中并非處處有定義的函數。