目 錄 第一章 Laplace 方程 §1.1 Green 表示公式 1.1.1 Green 公式 1.1.2 基本解 1.1.3 Green 表示公式 §1.2 Green 函數(shù) 1.2.1 Green 函數(shù)的引入及其性質(zhì) 1.2.2 特殊區(qū)域上的 Green 函數(shù) §1.3 球上 Laplace 方程的解 §1.4 平均值定理 §1.5 調(diào)和函數(shù)的極值原理 §1.6 解的唯一性和穩(wěn)定性 §1.7 調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì) 1.7.1 Harnack 第一定理 1.7.2 Harnack 不等式 1 1.7.3 Harnack 第二定理 1.7.4 可去奇點定理 1.7.5 解析性定理 1.7.6 梯度內(nèi)估計 1.7.7 Liouville 定理 1.7.8 Harnack 不等式 2 1.7.9 平均值逆定理 §1.8 Hopf 原理 1.8.1 Hopf 原理 1.8.2 Neumann 邊值問題解的唯一性 習(xí)題 1 第二章 Newton 位勢和 Poisson 方程 §2.1 H?lder 空間 2.1.1 H?lder 連續(xù)函數(shù) 2.1.2 H?lder 模 §2.2 Newton 位勢 2.2.1 Newton 位勢的定義 2.2.2 Newton 位勢的一階導(dǎo)數(shù) 2.2.3 Newton 位勢的二階導(dǎo)數(shù) 2.2.4 球上 Poisson 方程的可解性 §2.3 Poisson 方程的內(nèi)部 H?lder 估計 2.3.1 Newton 位勢的內(nèi)部 H?lder 估計 2.3.2 Poisson 方程解的內(nèi)部 H?lder 估計 2.3.3 一般區(qū)域上 Poisson 方程的內(nèi)部范數(shù)估計 2.3.4 非齊次項無界的 Poisson 方程的可解性 §2.4 邊界估計 2.4.1 Newton 位勢的邊界估計 2.4.2 Poisson 方程解的邊界估計 2.4.3 球上 Poisson 方程的整體正則性 習(xí)題 2 第三章 一般線性橢圓算子的極值原理 §3.1 基本定義 3.1.1 橢圓算子 3.1.2 嚴(yán)格橢圓性和一致橢圓性 3.1.3 附加假設(shè) §3.2 弱極值原理 3.2.1 \( c = 0 \) 時的弱極值原理 3.2.2 \( c \leq 0 \) 時的弱極值原理 3.2.3 比較原理 §3.3 強極值原理 3.3.1 Hopf 引理 3.3.2 強極值原理 3.3.3 Neumann 問題的唯一性 §3.4 先驗估計 3.4.1 最大模估計 3.4.2 Harnack 不等式 習(xí)題 3 第四章 線性橢圓方程的 Dirichlet 邊值問題 §4.1 球上的 Schauder 內(nèi)估計 4.1.1 常系數(shù)主項的橢圓方程 4.1.2 插值不等式 4.1.3 變系數(shù)主項的橢圓方程 §4.2 一般區(qū)域上的 Schauder 內(nèi)估計 4.2.1 有界區(qū)域上的 Schauder 估計 4.2.2 加權(quán)的 Schauder 內(nèi)估計 4.2.3 球上的 \(C^0\) 估計 §4.3 球上的 Dirichlet 邊值問題 4.3.1 Banach 空間 4.3.2 壓縮映像原理 4.3.3 連續(xù)性方法 4.3.4 球上 Dirichlet 邊值問題的可解性 §4.4 一般區(qū)域上的 Dirichlet 邊值問題 4.4.1 Perron 方法 4.4.2 間函數(shù) 4.4.3 一般區(qū)域上 Dirichlet 邊值問題的可解性 §4.5 提升正則性 4.5.1 從 \(C^2\) 到 \(C^{2,\alpha}\) 的提升 4.5.2 一般正則性提升定理 習(xí)題 4